Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別交、兩點，點關于原點的對稱點是點．動點從出發以每秒1個單位的速度運動到點，點在線段上滿足，過點作于點，點關于點的對稱點為點，以為直徑作，設點運動的時間為秒．

（1）當點在段上運動，______時，與的相似比為；

（2）當與軸相切時，求的值；

（3）若直線與交于點，是否存在使，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在， 或或．

【解析】

（1）先求直線與坐標軸的交點坐標，再證△AEF∽△EDO∽△ABO，由△AEF與△EDO的相似比為，即可求得t的值；

（2）由⊙M與y軸相切可知：DG⊥y軸，分兩種情況：0≤t≤3或3＜t≤6，用含的表示AE，OE，OD，BD再利用三角形的相似與點關于點的對稱點為點可得答案．

（3）分三種情況：0≤t≤或 ＜t≤3或3＜t≤6，分別建立方程求解即可．

（1）由，可得：

∴OA＝3，OB＝6，，，

∴tan∠BAO＝

∵tan∠DEO＝2

∴∠BAO＝∠DEO

∵EF⊥AB ∴∠AFE＝∠DOE＝90°

∴△AEF∽△EDO∽△ABO

，即：，

∴；

∵△AEF與△EDO的相似比為，

∴ ，即

∴， 解得：；

故答案為：；

（2）與軸相切，則軸

當點在線段上時，即時，如圖，此時，，則由可知，，則；又易證，故可得，又點是點關于點的對稱點，所以，故；又軸，則，即，解得；

當點在線段上時，即時，如圖，此時，，則，故此時，而保持不變；又軸，則，即，解得．

綜上，當或時，與軸相切．

（3）當 時， ∵點A關于點F的對稱點為點G，EF⊥AB

∴EG＝EA＝t ∵∠OEG＝∠OAB+∠EGA＝2∠OAB，∠OED＝∠OAB

∴∠DEG＝∠DEG ∵DG為直徑 ∴∠DNG＝∠DOE=90°，又DE＝DE

∴△DEN≌△DEO（AAS）

∴

由NG＝NA得：， 解得：

同理，當時，因為點與點關于點對稱，所以易得，又為的直徑，所以．

如圖，此時易證，所以，故有，解得．

當點在線段上時，即時，此時大致圖形如圖所示，設與軸的交點為點，過點作軸于點，則由面積關系可得，易得，即，又，所以，，所以，又，

所以，

又，即，

解得：

綜上，當或或時，．