Question

在銳角△ABC中，最大的高線AH等于中線BM，求證：∠B＜60°（如圖）．

Answer 1

分析：銳角三角形中任意角都小于90°，且BM為中線，證明∠B＜60°通過證明三角形面積的方法可以求證．

解答：證明：作MH₁⊥BC于H₁，由于M是中點，所以MH1=

1

2

AH=

1

2

BM，
于是在Rt△MH₁B中，∠MBH₁=30°．
延長BM至N，使得MN=BM，則ABCN為平行四邊形．因為AH為最大高，
由三角形的面積公式（S=

1

2

aha=

1

2

bhb=

1

2

chc）知，
BC是ABC中的最短邊，所以
AN=BC＜AB，
從而∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，
∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．

點評：此題主要考查三角形中位線定理及在平行四邊形中，三角形面積和角的計算．