Question

（2009•寶山區二模）在直角坐標系中，把點A（-1，a）（a為常數）向右平移4個單位得到A′，經過點A、A′的拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點的縱坐標為2．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設該拋物線的頂點為點P，點B的坐標為（1，m），且m＜3，若△ABP是等腰三角形，求點B的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A，A′和（0，2）代入解析式用待定系數法求解；
（2）根據題意可設點B的坐標為（1，m），利用等腰三角形的兩邊相等作為等量關系列式子關于m的方程，要注意本題有三種情況，要分別列舉，當AP=PB時；當AP=AB時；當PB=AB時，分別計算不要漏解．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
點A（-1，a）（a為常數）向右平移4個單位得到點A'（3，a），（1分）
∵拋物線與y軸的交點的縱坐標為2，
∴c=2，（1分）
∵圖象經過點A（-1，a），A'（3，a），
∴，（1分）
解得，（2分）
∴這條拋物線的解析式為y=-x²+2x+2；（1分）

（2）由y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3
得P（1，3），，（1分）
∵△ABP是等腰三角形，點B的坐標為（1，m），且m＜3，
（Ⅰ）當AP=PB時，，
即，（1分）
∴；（1分）
（Ⅱ）當AP=AB時，（-1-1）²+（-1-3）²=（-1-1）²+（-1-m）²，
解得m=3，m=-5，（1分）m=3不合題意舍去，
∴m=-5；（1分）
（Ⅲ）當PB=AB時，（1-1）²+（3-m）²=（-1-1）²+（-1-m）²，
解得．（1分）
∴當或-5或時，△ABP是等腰三角形．B的坐標是（1，3-2）或（1，-5）或（1，）．
點評：本題考查圖形的平移變換和待定系數法求二次函數的解析式和利用等腰三角形的性質求點的坐標，此題是典型的數形結合綜合性習題．