Question

如圖，拋物線的對稱軸是直線x=，與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，并且點A的坐標為（—1，0）.

（1）求拋物線的解析式；
（2）過點C作CD//x軸交拋物線于點D，連接AD交y軸于點E，連接AC，設△AEC的面積為S₁, △DEC的面積為S₂，求S₁：S₂的值；
（3）點F坐標為（6，0），連接D，在（2）的條件下，點P從點E出發，以每秒3個單位長的速度沿E→C→D→F勻速運動；點Q從點F出發，以每秒2個單位長的速度沿F→A勻速運動，當其中一點到達終點時，另外一點也隨之停止運動.若點P、Q同時出發，設運動時間為t秒，當t為何值時，以D、P、Q為頂點的三角形是直角三角形?請直接寫出所有符合條件的t值..

Answer 1

解：（1）
（2）
（3）當時，以D、P、Q為頂點的三角形是直角三角形。

試題分析：（1）由∵拋物線的對稱軸是直線x=和經過點A（—1，0），得，解之即可得拋物線的解析式。
∵拋物線的對稱軸是直線x=，∴①。
又∵拋物線經過點A（—1，0），∴②。
聯立①②，解得。
∴拋物線的解析式為。
（2）根據相似三角形和等高三角形的性質，可得和，從而，即S₁：S₂=。
在中令x=0得，∴C（0，4）。
∵拋物線的對稱軸是直線x=，CD//x軸交拋物線于點D，∴D（3，4）。
又OA=1，CD=3，
∵CD//x軸，∴△AEO∽△DEC。∴③。
又∵△AEO和△AEC是兩等高三角形，∴④。
③÷④，得，即S₁：S₂=。
（3）分四種情況討論：
①當點P在EC上運動，∠PDQ=90⁰時，如圖1，

過點D作DG⊥AB于G，則CD=3，PC= 3—3t，GD=4，QG=3—2t，
由△PCD∽△QGD得，即，解得。
②當點P在CD上運動，∠PDQ=90⁰時，如圖2，

OQ=6—2t，CD=3，此時，OQDC是矩形。由OQ=CD，即6—2t=3解得。
③當點P在CD上運動，∠QPD=90⁰時，如圖3，

OQ=6—2t，CP=3t—3，此時，OQPC是矩形。由OQ=CP，6—2t=3t—3解得。
④當點P在DF上運動，∠QPD=90⁰時，如圖4，

由D（3，4），F（6，0），根據勾股定理可得DF=5。
過點D作DG⊥AB于G，則DF=5，GF=3， PF= 11—3t， QF=2t，
由△FPQ∽△FGD得，即，解得。
綜上所述，當時，以D、P、Q為頂點的三角形是直角三角形。