Question

【題目】如圖，是的直徑，是上一點，于點，過點作的切線，交的延長線于點，連接．

求證：與相切；

設交于點，若，，求由劣弧、線段和所圍成的圖形面積．

Answer 1

【答案】（1）相切；（2）．

【解析】

（1）連接OC，如圖，根據垂徑定理由OD⊥BC得到CD=BD，則OE為BC的垂直平分線，所以EB=EC，根據等腰三角形的性質得∠EBC=∠ECB，加上∠2=∠1，則∠OBE=∠OCE；再根據切線的性質得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根據切線的判定定理得BE與⊙O相切；

（2）設⊙O的半徑為R，則OD=R﹣DF=R﹣2，OB=R．在Rt△OBD，利用勾股定理得（R﹣2）2+（2）2=R2，解得R=4，即OD=2，OB=4，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到∠OBD=30°，則∠BOD=60°．在Rt△OBE中，計算BE=OB=4，然后根據扇形面積公式和S陰影=S四邊形OBEC﹣S扇形OBC進行計算即可．

（1）連接OC，如圖，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE為BC的垂直平分線，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB．

∵OB=OC，∴∠2=∠1，∴∠2+∠EBC=∠1+∠ECB，即∠OBE=∠OCE．

∵CE為⊙O的切線，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE與⊙O相切；

（2）設⊙O的半徑為R，則OD=R﹣DF=R﹣2，OB=R．在Rt△OBD中，BD=BC=2．

∵OD2+BD2=OB2，∴（R﹣2）2+（2）2=R2，解得：R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°．在Rt△OBE中，BE=OB=4，∴S陰影=S四邊形OBEC﹣S扇形OBC

=2××4×4﹣=16﹣．