Question

【題目】如圖，點O是邊長為4 的等邊△ABC的內心，將△OBC繞點O逆時針旋轉30°得到△OB1C1 ， B1C1交BC于點D，B1C1交AC于點E，則DE= ．

Answer 1

【答案】6﹣2
【解析】解：令OB1與BC的交點為F，B1C1與AC的交點為M，過點F作FN⊥OB于點N，如圖所示．
∵將△OBC繞點O逆時針旋轉30°得到△OB1C1 ，
∴∠BOF=30°，
∵點O是邊長為4 的等邊△ABC的內心，
∴∠OBF=30°，OB= AB=4，
∴△FOB為等腰三角形，BN= OB=2，
∴BF= = =OF．
∵∠OBF=∠OB1D，∠BFO=∠B1FD，
∴△BFO∽△B1FD，
∴ ．
∵B1F=OB1﹣OF=4﹣ ，
∴B1D=4 ﹣4．
在△BFO和△CMO中，有 ，
∴△BFO≌△CMO（ASA），
∴OM=BF= ，C1M=4﹣ ，
在△C1ME中，∠C1ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C1=30°，
∴∠C1EM=90°，
∴C1E=C1Msin∠C1ME=（4﹣ ）× =2 ﹣2．
∴DE=B1C1﹣B1D﹣C1E=4 ﹣（4 ﹣4）﹣（2 ﹣2）=6﹣2 ．
所以答案是：6﹣2 ．
【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質和三角形的內切圓與內心，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心即可以解答此題．