Question

（2011•寶安區一模）閱讀材料：
（1）對于任意實數a和b，都有（a-b）²≥0，∴a²-2ab+b²≥0，于是得到a²+b²≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立．
（2）任意一個非負實數都可寫成一個數的平方的形式．即：如果a≥0，則a=(

a

)2．如：2=(

2

)2，3=(

3

)3等．
例：已知a＞0，求證：a+

1

2a

≥

2

．
證明：∵a＞0，∴a+

1

2a

=(

a

)2+(

1

2a

)2≥2×

a

×

1

2a

=

2

∴a+

1

2a

≥

2

，當且僅當a=

2

2

時，等號成立．
請解答下列問題：
某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成（如圖所示）．設垂直于墻的一邊長為x米．
（1）若所用的籬笆長為36米，那么：
①當花圃的面積為144平方米時，垂直于墻的一邊的長為多少米？
②設花圃的面積為S米²，求當垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個花圃的面積最大？并求出這個最大面積；
（2）若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？

Answer 1

分析：（1）①用含x的代數式表示出矩形的另一邊的長，再根據矩形的面積公式即可建立方程，方程的解即為垂直于墻的一邊的長；
②利用二次函數的性質即可求出當垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個花圃的面積最大值和此時的面積；
（2）設所需的籬笆長為L米，由題意得：L=2x+

200

x

，再根據給出的材料提示即可求出需要用的籬笆最少是多少米．

解答：（1）解：由題意得 x（36-2x）=144，
化簡后得 x²-18x+72=0
解得：x₁=6，x₂=12，
答：垂直于墻的一邊長為6米或12米；

（2）解：由題意得
S=x（36-2x）=-2x²+36x，
=-2（x-9）²+162，
∵a=-2＜0，∴當x=9時，S取得最大值是162，
∴當垂直于墻的一邊長為9米時，S取得最大值，最大面積是162m²；

（3）解：設所需的籬笆長為L米，由題意得L=2x+

200

x

，
即：L=(

2x

)2+(

200 x

)2≥2×

2x

×

200 x

=40，
∴若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是40米．

點評：此題考查了二次函數和一元二次方程的實際應用問題．解題的關鍵是根據題意構建二次函數模型，然后根據二次函數的性質求解即可．