Question

【題目】已知如圖，矩形OABC的長OA= ，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．

（1）求∠PCB的度數；
（2）若P，A兩點在拋物線y=﹣ x2+bx+c上，求b，c的值，并說明點C在此拋物線上；
（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D，與x軸相交于另外一點E，若點M是x軸上的點，N是y軸上的點，以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求點M、N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△OAC中，OA= ，OC=1，則∠OAC=30°，∠OCA=60°；

根據折疊的性質知：OA=AP= ，∠ACO=∠ACP=60°；

∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，

∴∠PCB=30°．

（2）

解：過P作PQ⊥OA于Q；

Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP= ；

∴OQ=AQ= ，PQ= ，

所以P（ ， ）；

將P、A代入拋物線的解析式中，得：

，

解得 ；

即y=﹣ x2+ x+1；

當x=0時，y=1，故C（0，1）在拋物線的圖像上

（3）

解：①若DE是平行四邊形的對角線，點C在y軸上，CD平行x軸，

∴過點D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，

把y=1代入拋物線解析式得點D的坐標為（ ，1）

把y=0代入拋物線解析式得點E的坐標為（﹣ ，0）

∴M（ ，0）；N點即為C點，坐標是（0，1）；

②若DE是平行四邊形的邊，

過點A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，

∴DE=AN= = =2，

∵tan∠EAN= ，

∴∠EAN=30°，

∵∠DEA=∠EAN，

∴∠DEA=30°，

∴M（ ，0），N（0，﹣1）；

同理過點C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，

∴M（﹣ ，0），N（0，1）．

【解析】（1）根據OC、OA的長，可求得∠OCA=∠ACP=60°（折疊的性質），∠BCA=∠OAC=30°，由此可判斷出∠PCB的度數．（2）過P作PQ⊥OA于Q，在Rt△PAQ中，易知PA=OA=3，而∠PAO=2∠PAC=60°，即可求出AQ、PQ的長，進而可得到點P的坐標，將P、A坐標代入拋物線的解析式中，即可得到b、c的值，從而確定拋物線的解析式，然后將C點坐標代入拋物線的解析式中進行驗證即可．（3）根據拋物線的解析式易求得C、D、E點的坐標，然后分兩種情況考慮：
①DE是平行四邊形的對角線，由于CD∥x軸，且C在y軸上，若過D作直線CE的平行線，那么此直線與x軸的交點即為M點，而N點即為C點，D、E的坐標已經求得，結合平行四邊形的性質即可得到點M的坐標，而C點坐標已知，即可得到N點的坐標；
②DE是平行四邊形的邊，由于A在x軸上，過A作DE的平行線，與y軸的交點即為N點，而M點即為A點；易求得∠DEA的度數，即可得到∠NAO的度數，已知OA的長，通過解直角三角形可求得ON的值，從而確定N點的坐標，而M點與A點重合，其坐標已知；
同理，由于C在y軸上，且CD∥x軸，過C作DE的平行線，也可找到符合條件的M、N點，解法同上．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．