Question

【題目】閱讀理解：配方法是中學數學的重要方法，用配方法可求最大（小）值，對于任意正實數a、b，可作如下變形a+b==-2+2=+2，又∵≥0，∴ +2≥0+ 2，即a+b ≥2．

（1）根據上述內容，回答下列問題：在a+b≥2（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥ 2，當且僅當a、b滿足________時，a+b有最小值2．

（2）思考驗證：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，CO為AB邊上中線，AD＝2a ，DB＝2b, 試根據圖形驗證a+b≥2成立，并指出等號成立時的條件.

（3）探索應用：如圖2，已知A為反比例函數的圖象上一點，A點的橫坐標為1，將一塊三角板的直角頂點放在A處旋轉，保持兩直角邊始終與x軸交于兩點D、E，F（0，-3）為y軸上一點，連接DF、EF，求四邊形ADFE面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）a=b ；（2）當D與O重合時或a=b時，等式成立；（3）28.

【解析】

（1）由給出的材料可知a=b時；

（2）因為AD=2a，DB=2b，所以AB=2a+2b，CO為中線，所以CO=a+b，再利用射影定理得CD=，在直角三角形COD中斜邊大于直角邊即CO＞CD，問題得證；

（3）把A點的橫坐標為1，代入函數y＝得，y=4，由（2）知：當DH=EH時，DE最小，此時S四邊形ADFE=×8×（4+3）=28．

（1）a=b，

(2)有已知得CO=a+b,CD=2,CO≥CD,即≥2.

當D與O重合時或a=b時，等式成立.

(3),

當DE最小時S四邊形ADFE最小.

過A作AH⊥x軸，由（2）知：當DH=EH時，DE最小，

所以DE最小值為8，此時S四邊形ADFE=（4+3）=28.