Question

（2013年四川廣安10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C三點，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．
①動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；
②連接PA，以AP為邊作圖示一側的正方形APMN，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標．（結果保留根號）

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3。
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3�！唷鰽OB是等腰直角三角形�！唷螧AO=45°。
∵PF⊥x軸，∴∠AEF=90°﹣45°=45°。
又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形�！郟D越大，△PDE的周長越大。
易得直線AB的解析式為y=x+3，
設與AB平行的直線解析式為y=x+m，
聯立，消掉y得，x²+3x+m﹣3=0，
當△=3²﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，
此時x=，y=+=，
∴點P（，）時，△PDE的周長最大。
②拋物線y=﹣x²﹣2x+3的對稱軸為直線，
（i）如圖1，點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°。
∴∠APF=∠QPM。
∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS）�！郟F=PQ。
設點P的橫坐標為n（n＜0），則PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴點P的坐標為（n，﹣1﹣n）。
∵點P在拋物線y=﹣x²﹣2x+3上，∴﹣n²﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n²+n﹣4=0。
解得n₁=（舍去），n₂=，﹣1﹣n=﹣1﹣=，
∴點P的坐標為（，）。
（ii）如圖2，點N在對稱軸上時，設拋物線對稱軸與x軸交于點Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN。
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ。
∴PF=AQ。
設點P坐標為P（x，﹣x²﹣2x+3），
則有﹣x²﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，
解得x=（不合題意，舍去）或x=。
∴點P坐標為（，2）。
綜上所述，當頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時，點P坐標為（，），當頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時，點P的坐標為（，2）。

解析