Question

【題目】如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連AD.

（1）求證：AD=AN；

（2）若AB=，ON=1，求⊙O的半徑．

（3）若且AE=4，求CM

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、3；(3)、CM=2.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠B=∠D，根據(jù)雙垂直得出∠B=∠ANE，從而得出∠D=∠ANE，從而得到答案；(2)、設(shè)NE=x，則OE=x－1，ED=x，r=2x－1，根據(jù)Rt△AOE的勾股定理得出x的值，從而求出半徑；(3)、根據(jù)△ANE的面積等于△ADE的面積以及S△CMN：S△AND=1:8，從而得出S△CMN：S△ANE=1:4，求出答案.

試題解析：(1)、根據(jù)圖示可得：∠B=∠D ∵AM⊥BC，AB⊥CD ∴∠B=∠ANE

∴∠ANE=∠D ∴AD=AN

(2)、∵AB=，AE⊥CD，∴AE=，又∵ON=1，∴設(shè)NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，

r=OD=OE+ED=2x-1 連結(jié)AO，則AO=OD=2x-1，

∵△AOE是直角三角形，AE=，OE=x-1，AO=2x-1， ∴

解得x=2，∴r=2x-1=3．

(3)、∵AD=AN,AB⊥CD，∴AE平分ND，∴S△ANE=S△ADE ∵S△CMN：S△AND=1:8，∴S△CMN：S△ANE=1:4，

又∵△CMN∽△AEN，∴ ∵AE=4，∴CM=2