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如圖，D是△ABC的邊BC上一點，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面積為a，則△ACD的面積為（　　）

A．a

B．

C．

D．

試題分析：首先證明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質可得：△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，因為△ABD的面積為a，進而求出△ACD的面積．
∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，
∴△ACD的面積：△ABD的面積=1：3，
∵△ABD的面積為a，
∴△ACD的面積為

a，
故選C．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．動點M，N同時從B點出發，分別沿B?A，B?C運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設運動時間為t秒．

（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM= _________ 厘米；
（2）若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：計算題

如圖D，E分別是△ABC的AB，AC邊上的點，且DE∥BC，AD∶AB=1∶4，

（1）證明：△ADE∽△ABC；
（2）當DE=2，求BC的長.

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．一把三角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A、D不重合），一直角邊始終經過點C，另一直角邊與AB交于點E．

（1）證明△DPC∽△AEP；
（2）當∠CPD＝30°時，求AE的長；
（3）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的

倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．

（1）當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知：正方形ABCD的邊長為1，射線AE與射線BC交于點E，射線AF與射線CD交于點F，∠EAF=45°.
（1）如圖1，當點E在線段BC上時，試猜想線段EF、BE、DF有怎樣的數量關系？并證明你的猜想.

（2）設BE=x，DF=y，當點E在線段BC上運動時（不包括點B、C），如圖1，求y關于x的函數解析式，并指出x的取值范圍.
（3）當點E在射線BC上運動時（不含端點B），點F在射線CD上運動.試判斷以E為圓心以BE為半徑的⊙E和以F為圓心以FD為半徑的⊙F之間的位置關系.
（4）當點E在BC延長線上時，設AE與CD交于點G，如圖2.問⊿EGF與⊿EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，請說明理由.