Question

（2012•鹽城）知識遷移
   當a＞0且x＞0時，因為(

x

-

a

x

)2≥0，所以x-2

a

+

a

x

≥0，從而x+

a

x

≥2

a

（當x=

a

）是取等號）．
   記函數y=x+

a

x

（a＞0，x＞0）．由上述結論可知：當x=

a

時，該函數有最小值為2

a

．
直接應用
   已知函數y₁=x（x＞0）與函數y₂=

1

x

（x＞0），則當x=

1

時，y₁+y₂取得最小值為

2

．
變形應用
   已知函數y₁=x+1（x＞-1）與函數y₂=（x+1）²+4（x＞-1），求

y2

y1

的最小值，并指出取得該最小值時相應的x的值．
實際應用
   已知某汽車的一次運輸成本包含以下三個部分，一是固定費用，共360元；二是燃油費，每千米1.6元；三是折舊費，它與路程的平方成正比，比例系數為0.001．設該汽車一次運輸的路程為x千米，求當x為多少時，該汽車平均每千米的運輸成本最低？最低是多少元？

Answer 1

分析：直接運用：可以直接套用題意所給的結論，即可得出結果．
變形運用：先得出

y2

y1

的表達式，然后將（x+1）看做一個整體，繼而再運用所給結論即可．
實際運用：設行駛x千米的費用為y，則可表示出平均每千米的運輸成本，利用所給的結論即可得出答案．

解答：解：直接應用：
∵函數y=x+

a

x

（a＞0，x＞0），由上述結論可知：當x=

a

時，該函數有最小值為2

a

．
∴函數y₁=x（x＞0）與函數y₂=

1

x

（x＞0），則當x=1時，y₁+y₂取得最小值為2．
變形應用
已知函數y₁=x+1（x＞-1）與函數y₂=（x+1）²+4（x＞-1），
則

y2

y1

=

(x+1) 2+4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

的最小值為：2

4

=4，
∵當（x+1）+

4

x+1

=4時，
整理得出：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
檢驗：x=1時，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解，
故

y2

y1

的最小值為4，相應的x的值為1；
實際應用
設行駛x千米的費用為y，則由題意得，y=360+1.6x+0.001x²，
故平均每千米的運輸成本為：

y

x

=0.001x+

360

x

+1.6=0.001x+

0.36

0.001x

+1.6，
由題意可得：當0.001x=

0.36

時，

y

x

取得最小，此時x=600km，
此時

y

x

≥2

0.36

+1.6=2.8，
即當一次運輸的路程為600千米時，運輸費用最低，最低費用為：2.8元．
答：汽車一次運輸的路程為600千米，平均每千米的運輸成本最低，最低是2.8元．

點評：此題考查了二次函數的應用及幾何不等式的知識，題目出的比較新穎，解答本題的關鍵是仔細審題，理解題意所給的結論，達到學以致用的目的．