Question

【題目】已知：如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點D，且AB=5，AD=4，在AD上取一點G，使AG=，點P是折線CB﹣BA上一動點，以PG為直徑作⊙O交AC于點E，連結PE．

（1）求sinC的值；

（2）當點P與點B重合時如圖②所示，⊙O交邊AB于點F，求證：∠EPG=∠FPG；

（3）點P在整個運動過程中：

①當BC或AB與⊙O相切時，求所有滿足條件的DE長；

②點P以圓心O為旋轉中心，順時針方向旋轉90°得到P′，當P′恰好落在AB邊上時，求△OPP′與△OGE的面積之比（請直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）sin∠C=；（2）證明見解析；（3）①DE長為或或；②滿足條件的△OPP′與△OGE的面積之比為25：24或25：7．

【解析】

（1）易證∠C=∠ABD，則sin∠C=sin∠ABD==；

（2）連接CF，根據圓周角定理得∠BFG=∠AFG=90°，則sinA=，可求得FG=，再求出DG=AD﹣AG=4﹣=，則FG=DG，即可得證；

（3）①⊙O與AB相切有兩種情況，與BC相切有一種情況，如圖3、4、5，靈活運用切線的性質，三角函數與勾股定理分別求解即可；

②如圖3中，用（2）可知，點P以圓心O為旋轉中心，順時針方向旋轉90°得到P，

當P恰好落在AB邊上時，此時△OPP′與△OGE的面積之比=××：×××=25：24；

如圖6中，當△POH是等腰直角三角形時，連接PE，利用相似三角形的性質求得AE=，PE=，即GE=AE﹣AG=，則△OPP′與△OGE的面積之比=××：×××=25：7.

（1）∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，∠A+∠ABD=90°，

∴∠A=∠ABD，

∴sin∠C=sin∠ABD==；

（2）如圖2中，連接GF,

在Rt△ABD中，BD==3，

∵BG是直徑，

∴∠BFG=∠AFG=90°，

∴sinA=，即，

∴FG=，

∵DG=AD﹣AG=4﹣=，

∴GD=GF，

∴∠EPG=∠FPG；

（3）①如圖3中，當⊙O與BC相切時，作OH⊥AB于H，

∵∠OPB=∠PBH=∠OHB=90°，

∴四邊形PBHO是矩形，

∵∠C+∠A=90°，∠DBA+∠A=90°，

∴∠C=∠ABD，∵∠BDC=∠BDA，

∴△BDC∽△ADB，

∴BD2=CDAD，

∴CD=，

∴BC==，

∵BC是切線，

∴GP⊥BC，

∴GPC=∠ABC=90°，

∴GP∥AB，

∴∠CGP=∠A，

∴sin∠A=sin∠PGC，

∴，即，

∴PC=，

∴PB=BC﹣PC=，

∴PG==3，

∴OH=PB=，

∴此時⊙O與AB相切，連接PE，

∵PG是⊙O的直徑，

∴∠PEG=90°，

∴∠PEC=∠CDB=90°，

∴PE∥BD，

∴DE：CD=PB：BC，

∴DE： =：，

∴DE=；

如圖4中，當點P在AB上，⊙O與BC相切時，設切點為T，連接OT，GH，延長TO交GH于N，連接PE，

易證四邊形BTNH是矩形，

由（1）可知：GH=，AH=2，BH=3，GN=NH=，設OT=OG=m，

在Rt△OGN中，∵OG2=ON2+GN2，

∴m2=（3﹣m）2+（）2，

∴m=，

∴ON=，

∵OG=OP，GN=NH，

∴PH=2ON=，

∴PA=PH+AH=，

∵PE∥BD，

∴=，即=，

∴AE=，

∴DE=AD﹣AE=4﹣=；

如圖5中，當⊙O與AB相切時，GP⊥AB，連接PH，

∵HE⊥AG，

∴∠PEG=∠APG=90°，∵∠AGP=∠PGE，

∴△PGE∽△AGH，

∴PG2=GEGA，

∴GE=，

∴DE=DG+GE=+=；

綜上所述，當BC或AB與⊙O相切時，滿足條件的DE長為或或；

②如圖3中，用（2）可知，點P以圓心O為旋轉中心，順時針方向旋轉90°得到P，

當P恰好落在AB邊上時，

此時△OPP′與△OGE的面積之比=××：×××=25：24；

如圖6中，當△POH是等腰直角三角形時，滿足條件；

連接PE，

∵PH=GH=，AH=2，

∴PA=，OP=OH=，

∵PE∥BD，

∴PA：AB=AE：AD=PE：BD，

∴：5=AE：4=PE：3，

∴AE=，PE=，

∴GE=AE﹣AG=，

∴△OPP′與△OGE的面積之比=××：×××=25：7；

綜上所述，滿足條件的△OPP′與△OGE的面積之比為25：24或25：7．