Question

【題目】在中，，點為所在平面內一點，過點分別作交于點，交于點，交于點.

若點在上（如圖①），此時，可得結論：.

請應用上述信息解決下列問題：

當點分別在內（如圖②），外（如圖③）時，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，，，，與之間又有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想，不需要證明.

Answer 1

【答案】當點在內時，成立，證明見解析；當點在外時，不成立，數量關系為.

【解析】

當點在內時（如圖②），通過FD∥AB與AB=AC可知，FD=FC.即PD+PF=FC.要想FC+PE=AB,根據等量代換，只需要知道PE=AF，PE=AF可通過證明四邊形AEPF是平行四邊形，用對邊相等得到；

當點在外時（如圖③），類似于①可知FD=FC；同樣可通過證明四邊形AEPF是平行四邊形，得到對邊PE=AF，此時FD=PF-PD,所以數量關系上類似于①但不同于①，只是FD=PF-PD的區別.

解：當點在內時，上述結論成立.

證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，

∴，∵，∴，

又∵，∴，∴，∴，

∴，即，

又∵，，

∴；

當點在外時，上述結論不成立，此時數量關系為.

證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∵，∴，

又∵，∴，∴，∴，

∴，即，

又∵，，

∴.