Question

【題目】已知拋物線在坐標系中的位置如圖所示，它與，軸的交點分別為，，是其對稱軸上的動點，根據圖中提供的信息，給出以下結論：①，②是的一個根，③若，，則.其中正確的有______個.

Answer 1

【答案】3

【解析】

①根據對稱軸方程即可得結論；②根據對稱軸和拋物線與x軸的一個交點坐標即可求出另一個交點坐標即可得結論；③構造PA和PB所在直角三角形全等，得線段相等，從而求得B點的坐標，再根據交點式求拋物線解析式，求當x＝1時，y的值即可得結論．

解：①因為拋物線的對稱軸x＝1，
所以＝1，即b＋2a＝0，
所以①正確；
②因為A（1，0），對稱軸x＝1，
所以設拋物線與x軸的另一個交點為E，
所以E（3，0），
所以x＝3時，y＝0，即x＝3是ax2＋bx＋c＝0的一個根．
所以②正確；
③如圖：過點B作BD⊥對稱軸于點D，設對稱軸交x軸于點C，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝90°，
∴∠APC＋∠BPD＝90°，
∵∠BPD＋∠PBD＝90°，
∴∠PBD＝∠APC，
∵AP＝BP，
∴Rt△APC≌Rt△PBD（AAS）
∴PC＝BD＝1，DP＝AC＝2，
∴DC＝3，
∴OB＝3，
∴B（0，3）．又E（3，0），A（1，0）．
設拋物線解析式為y＝a（x＋1）（x3），
把B（0，3）代入，解得a＝1，
∴拋物線解析式為x2＋2x＋3，
當x＝1時，y＝4，
即a＋b＋c＝4．
所以③正確．
故答案為3．