Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC、BC及AB的延長線交于點D、E、F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圓，連接BD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求證：DEAC=BECE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OB，

∵OB=OC，

∴∠2=∠3，

∵∠ABC=90°、D為AC的中點，

∴AD=CD=BD，∠3+∠4=90°，

∴∠1=∠5，

又∵∠ADF=∠ABC=90°，

∴∠1=90°﹣∠A、∠2=90°﹣∠A，

∴∠1=∠2，

則∠5=∠3，

∴∠5+∠4=90°，

∴BD是⊙O的切線；

（2）證明：在△ABC和△EBF中，

∵ ，

∴△ABC≌△EBF（ASA），

∴AB=BE，

∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，

∴△ABC∽△EDC，

∴ = ，即ABCE=DEAC，

∴BECE=DEAC．

【解析】（1）連接OB，由OB=OC知∠2=∠3，由Rt△ABC中D為AC中點知∠1=∠5，由∠ADF=∠ABC=90°知∠1=∠2，從而得∠5=∠3，根據(jù)∠3+∠4=90°可得答案；（2）先證△ABC≌△EBF得AB=BE，證△ABC∽△EDC得 = ，從而得出答案．
【考點精析】通過靈活運用線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的外接圓與外心，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心即可以解答此題．