Question

【題目】已知直線y＝mx+n（m≠0，且m，n為常數）與雙曲線y＝（k＜0）在第一象限交于A，B兩點，C，D是該雙曲線另一支上兩點，且A、B、C、D四點按順時針順序排列．

（1）如圖，若m＝﹣，n＝，點B的縱坐標為，

①求k的值；

②作線段CD，使CD∥AB且CD＝AB，并簡述作法；

（2）若四邊形ABCD為矩形，A的坐標為（1，5），

①求m，n的值；

②點P（a，b）是雙曲線y＝第一象限上一動點，當S△APC≥24時，則a的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①k= 5；②見解析，由此AO交雙曲線于點C，延長BO交雙曲線于點D，線段CD即為所求；（2）①；②0＜a＜1或a＞5

【解析】

（1）①求出直線的解析式，利用待定系數法即可解決問題；②如圖，由此AO交雙曲線于點C，延長BO交雙曲線于點D，線段CD即為所求；

（2）①求出A，B兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；②分兩種情形求出△PAC的面積＝24時a的值，即可判斷．

（1）①∵，，

∴直線的解析式為，

∵點B在直線上，縱坐標為，

∴，

解得x＝2

∴，

∴；

②如下圖，由此AO交雙曲線于點C，延長BO交雙曲線于點D，線段CD即為所求；

（2）①∵點在上，

∴k＝5，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∴A，B關于直線y＝x對稱，

∴，

則有：，解得；

②如下圖，當點P在點A的右側時，作點C關于y軸的對稱點C′，連接AC，AC′，PC，PC′，PA．

∵A，C關于原點對稱，，

∴，

∵，

當時，

∴，

∴，

∴a＝5或(舍棄)，

當點P在點A的左側時，同法可得a＝1，

∴滿足條件的a的范圍為或．