Question

【題目】探究：小明在求同一坐標軸上兩點間的距離時發現，對于平面直角坐標系內任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通過構造直角三角形利用圖1得到結論：他還利用圖2證明了線段P1P2的中點P（x，y）P的坐標公式：，．

（1）請你幫小明寫出中點坐標公式的證明過程；

運用：（2）①已知點M（2，﹣1），N（﹣3，5），則線段MN長度為 ；

②直接寫出以點A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D為頂點的平行四邊形頂點D的坐標： ；

拓展：（3）如圖3，點P（2，n）在函數（x≥0）的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上，請在OL、x軸上分別找出點E、F，使△PEF的周長最小，簡要敘述作圖方法，并求出周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）①；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）用P1、P2的坐標分別表示出OQ和PQ的長即可證得結論；

（2）①直接利用兩點間距離公式可求得MN的長；②分AB、AC、BC為對角線，可求得其中心的坐標，再利用中點坐標公式可求得D點坐標；

（3）設P關于直線OL的對稱點為M，關于x軸的對稱點為N，連接PM交直線OL于點R，連接PN交x軸于點S，則可知OR=OS=2，利用兩點間距離公式可求得R的坐標，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P點坐標，利用中點坐標公式可求得M點坐標，由對稱性可求得N點坐標，連接MN交直線OL于點E，交x軸于點S，此時EP=EM，FP=FN，此時滿足△PEF的周長最小，利用兩點間距離公式可求得其周長的最小值．

試題解析：

（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+= ，∵PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線，∴PQ= =，即線段P1P2的中點P（x，y）P的坐標公式為x=，y=；

（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN==，故答案為：；

②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴當AB為平行四邊形的對角線時，其對稱中心坐標為（0，1），設D（x，y），則x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此時D點坐標為（﹣3，3），當AC為對角線時，同理可求得D點坐標為（7，1），當BC為對角線時，同理可求得D點坐標為（﹣1，﹣3），綜上可知D點坐標為（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案為：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；

（3）如圖，設P關于直線OL的對稱點為M，關于x軸的對稱點為N，連接PM交直線OL于點R，連接PN交x軸于點S，連接MN交直線OL于點E，交x軸于點F，又對稱性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此時△PEF的周長即為MN的長，為最小，設R（x，），由題意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x=，∴R（，），∴，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），設M（x，y），則=， =，解得x=，y=，∴M（，），∴MN= =，即△PEF的周長的最小值為．