Question

30、（1）試說明（2n+3）²-（2n+1）²一定能被8整除．
（2）已知a+b=7，ab=10、求代數式下列代數式的值：①a²+b²②（a-b）²
（3）已知x²+2x+2y+y²+2=0，求x²⁰⁰⁸+y²⁰⁰⁹的值．
（4）若x²-x-1=0，求代數式的值．
（5）若（x²+x-4）（x²+x+2）+9=4，求x²+x的值．

Answer 1

分析：（1）按平方差公式計算，從而證明；
（2）根據完全平方公式的變形a²+b²=（a+b）²-2ab，（a-b）²=（a+b）²-4ab求解；
（3）由已知可得（x+1）²+（y+1）²=0，從而求得x=-1，y=-1，再代入求值；
（4）把x³-3x²+x-2寫成x（x²-x-1）-2（x²-x-1）-4，把x²-x-1=0整體代入求解；
（5）把x²+x看成整體，解方程求解．

解答：解：（1）∵（2n+3）²-（2n+1）²，
=（2n+3+2n+1）（2n+3-2n-1），
=4（n+1）×2=8（n+1），
∴（2n+3）²-（2n+1）²一定能被8整除．

（2）①a²+b²=（a+b）²-2ab=49-20=29，
②（a-b）²=（a+b）²-4ab=49-40=9；

（3）∵x²+2x+2y+y²+2=0，
∴（x+1）²+（y+1）²=0，
x+1=0，y+1=0，
x=-1，y=-1，
∴x²⁰⁰⁸+y²⁰⁰⁹=（-1）²⁰⁰⁸+（-1）²⁰⁰⁹=1-1=0；

（4）∵x³-3x²+x-2=x（x²-x-1）-2（x²-x-1）-4，
當x²-x-1=0時，原式=-4；

（5）∵（x²+x-4）（x²+x+2）+9=4，
∴（x²+x）²-2（x²+x）-8+5=0，
（x²+x-3）（x²+x+1）=0，
∴x²+x=3或-1．

點評：本題考查了整式的多種運算，熟練掌握各運算法則和性質是解題的關鍵．（1）（2）（3）考查的是對乘法公式的靈活應用；（4）（5）運用了整體的數學思想．