Question

（2012•南京）如圖，A、B是⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角．
（1）已知∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角，
①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=

90

°；
②若⊙O的半徑是1，AB=

2

，求∠APB的度數；
（2）已知O₂是⊙O₁外一點，以O₂為圓心作一個圓與⊙O₁相交于A、B兩點，∠APB是⊙O₁上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O₂于M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數量關系．

Answer 1

分析：（1）①根據直徑所對的圓周角等于90°即可求解；
②根據勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分點P在優弧

AB

上；點P在劣弧

AB

上兩種情況討論求解；
（2）根據點P在⊙O₁上的位置分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數量關系．

解答：解：（1）①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=90．
②如圖，連接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA=OB=1．AB=

2

，
∴OA²+OB²=AB²．
∴∠AOB=90°．
當點P在優弧

APB

上時，∠AP₁B=

1

2

∠AOB=45°；
當點P在劣弧

AB

上時，∠AP₂B=

1

2

（360°-∠AOB）=135°…6分

（2）根據點P在⊙O₁上的位置分為以下四種情況．

第一種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖①
∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB；
第二種情況：點P在⊙O₂外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖②．
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°-∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°；
第三種情況：點P在⊙O₂外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖③．
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB，
第四種情況：點P在⊙O₂內，如圖④，
∠APB=∠MAN+∠ANB．

點評：綜合考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，點與圓的位置關系，本題難度較大，注意分類思想的運用．