Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c（c≠0）的圖象經過點A（-2，m）（m＜0），與y軸交于點B，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側），AB//x軸，且AB：OB=2：3．

（1）求m的值；

（2）求二次函數的解析式；

（3）在線段BC上是否存在點P，使ΔPOC為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=-3;(2) ;(3) 存在點，，，使為等腰三角形,理由見解析

【解析】

（1）由AB∥x軸，A（﹣2，m），可得AB=2，又由AB：OB=2：3，即可求得點B的坐標，則可求得m的值；

（2）由二次函數與y軸的交于點B，可求得c的值，又由圖象過點A（﹣2，﹣3），將其代入函數解析式，即可求得b的值，則可得此二次函數解析式；

（3）由二次函數的圖象與x軸交于C、D兩點（點C在左惻），可得當y=0即可求得C的坐標，若△POC為等腰三角形，則可分別從①當PC=PO時，②當PO=CO時，③當PC=CO時去分析，即可求得滿足條件的點P的坐標．

（1）∵AB∥x軸，A（﹣2，m），∴AB=2．

又∵AB：OB=2：3，∴OB=3，∴點B的坐標為（0，﹣3），∴m=﹣3；

（2）∵二次函數與y軸的交于點B，∴c=﹣3．

又∵圖象過點A（﹣2，﹣3），∴﹣3=4﹣2b﹣3，∴b=2，∴二次函數解析式為y=x2+2x﹣3；

（3）當y=0時，有x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，由題意得：C（﹣3，0）．

若△POC為等腰三角形，則有：

①當PC=PO時，點P（）；

②當PO=CO時，點P（0，﹣3）；

③當PC=CO時，設直線BC的函數解析式為y=kx+n，則有，解得：，∴直線BC的函數解析式為y=﹣x﹣3．

設點P（x，﹣x﹣3），由PC=CO，得：[﹣（x+3）]2+[﹣（﹣x﹣3）]2=32，解得：x1=﹣3，x2=﹣3（不合題意，舍去），∴P（﹣3）．

綜上所述：存在點P（）或P（0，﹣3）或P（﹣3），使△POC為等腰三角形．