Question

如圖，拋物線交軸于兩點（的左側），交軸于點，頂點為。

（1）求點的坐標；

（2）求四邊形的面積；

（3）拋物線上是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) A（-1，0）；B（3，0）；C（0，3）；(2)9；(3) 存在這樣的點P，P點的坐標為（，）或（，）.

【解析】

試題分析：（1）在拋物線的解析式中，令x=0可以求出點C的坐標，令x=0可以求出A、B點的坐標．

（2）過D作DE⊥AB，垂足為E，則四邊形ABDC的面積就是：

（3）根據條件判定△BCD是直角三角形，再依據求出.設P點坐標為（m，-m²+2m+3），分兩種情況討論：（1）當P點在x 軸上方時，（2）當P點在x軸下方時，解直角三角形即可求出m的值，從而確定點P的坐標.

試題解析：（1）當x=0時，y=-x²+2x+3=3；

當y=0時，0=-x²

解得：x₁=-1、x₂=3；

故A（-1，0）；B（3，0）；C（0，3）．

（2）

∴D點坐標為（1，4）

過點D作DE⊥x軸于E

∴OE=1，DE=4

∴BE=OB-OE=2

∵,，

∴

(3)假設存在這樣的點P

過點C作CF⊥DE于F

∴CF=1，DF=1

∴∠DCF=45°,CD=

∵OC=3=OB,

∴∠CBO=45°,BC=

∵CF∥x軸

∴∠FCB=∠CBO=45°，

∴∠DCB=90°

在Rt△BCD中，

∴

設P點坐標為（m，-m²+2m+3），

過點P作PM⊥AB于M

當P點在x軸上方時，PM=-m²+2m+3，BM=3-m

在Rt△PBM中，,即

∴或（舍去）

∴P點坐標為（，）

當P點在x軸下方時，PM=-m²-2m-3，BM=3-m

在Rt△PBM中，,即

∴或（舍去）

∴P點坐標為（，）

綜上，存在這樣的點P，P點的坐標為（，）或（，）

考點: 二次函數綜合題.