Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動．伴隨著P、Q的運(yùn)動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB﹣BC﹣CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP= ，點(diǎn)Q到AC的距離是 ；

（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）

（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請說明理由；

（4）當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】(1)1，；(2)S=﹣t2+t；(3)能．t=或；(4)t=或t=．

【解析】

試題分析：（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距離；（2）過點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S與t的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)DE∥QB時(shí)，得四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由線段的對應(yīng)比例關(guān)系求得t，由PQ∥BC，四邊形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由線段的對應(yīng)比例關(guān)系求t；（4）①第一種情況點(diǎn)P由C向A運(yùn)動，DE經(jīng)過點(diǎn)C、連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，由PC2=QC2解得t；②第二種情況，點(diǎn)P由A向C運(yùn)動，DE經(jīng)過點(diǎn)C，由圖列出相互關(guān)系，求解t．

試題解析：（1）如圖1，過點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)F，

∵AC=3，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，

∴當(dāng)t=2時(shí)，AP=3﹣2=1；在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．∴BC=4，∵QF⊥AC，BC⊥AC，∴QF∥BC，∴△ACB∽△AFQ，∴，∴=，解得：QF=；故答案為：1，；（2）如圖1，過點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)F，如圖1，AQ=CP=t，∴AP=3﹣t．由△AQF∽△ABC，得=．∴QF=t．∴S=（3﹣t）t，即S=﹣t2+t；（3）能成為直角梯形．①當(dāng)由△APQ∽△ABC，DE∥QB時(shí)，如圖2．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，此時(shí)∠AQP=90°．由△APQ∽△ABC，得，即．解得t=；②如圖3，

當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．此時(shí)∠APQ=90°．由△AQP∽△ABC，得，即．解得t=，綜上所述：在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動的過程中，當(dāng)t=或時(shí)，四邊形QBED能成為直角梯形；（4）①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動，DE經(jīng)過點(diǎn)C．連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖4．

∵sinB===，∴QG=（5﹣t），同理BG=（5﹣t），∴CG=4﹣（5﹣t），∴PC=t，QC2=QG2+CG2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2．∵CD是PQ的中垂線，∴PC=QC，則PC2=QC2，得t2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2，解得t=；②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動，DE經(jīng)過點(diǎn)C，如圖5．

可知PC=6﹣t，QC2=QG2+CG2，由PC2=QC2可知：（6﹣t）2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2，即t=．綜上所述：t=或t=．