Question

【題目】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，CB＝5，動點M從C點開始沿CB運動，動點N從B點開始沿BA運動，同時出發，兩點均以1個單位/秒的速度勻速運動（當M運動到B點即同時停止），運動時間為t秒．

（1）AN＝　 　；CM＝　 　．（用含t的代數式表示）

（2）連接CN，AM交于點P．

①當t為何值時，△CPM和△APN的面積相等？請說明理由．

②當t＝3時，試求∠APN的度數．

Answer 1

【答案】（1）8﹣t，t；（2）①；②∠APN＝45°

【解析】

（1）根據路程＝速度×時間，可用含t的代數式表示BN，CM的長，即可用含t的代數式表示AN的長；

（2）①由題意可得S△ABM＝S△BNC，根據三角形面積公式可求t的值；

②過點P作PF⊥BC，PG⊥AB，過點A作AE⊥CN，交CN的延長線于點E，連接BP，可證四邊形PGBF是矩形，可得PF＝BG，根據三角形的面積公式，可得方程組，求出PG，PF的長，根據勾股定理可求PN的長，通過證△ANE∽△CNB，可求AE，NE的長，即可求∠APN的度數．

解：（1）∵M，N兩點均以1個單位/秒的速度勻速運動，

∴CM＝BN＝t，

∴AN＝8﹣t，

故答案為：8﹣t，t；

（2）①若△CPM和△APN的面積相等

∴S△CPM+S四邊形BMPN＝S△APN+S四邊形BMPN，

∴S△ABM＝S△BNC，

∴,

∴8×（5﹣t）＝5t

∴t＝

∴當t＝時，△CPM和△APN的面積相等；

②如圖，過點P作PF⊥BC，PG⊥AB，過點A作AE⊥CN，交CN的延長線于點E，連接BP，

∵PG⊥AB，PF⊥BC，∠B＝90°，

∴四邊形PGBF是矩形，

∴PF＝BG，

∵t＝3，

∴CM＝3＝BN，

∴BM＝2，AN＝5，

∵S△ABM＝S△ABP+S△BPM，

∴

∴16＝8PG+2PF①

∵S△BCN＝S△BCP+S△BPN，

∴×5×3＝

∴15＝3PG+5PF②

由①②組成方程組解得：PG＝，PF＝，

∴BG＝

∴NG＝BN﹣BG＝3﹣＝

在Rt△PGN中，PN＝＝，

在Rt△BCN中，CN＝＝

∵∠B＝∠E＝90°，∠ANE＝∠BNC

∴△ANE∽△CNB

∴

∴

∴AE＝，NE＝

∵PE＝EN+PN

∴PE＝+＝

∴AE＝PE，且AE⊥PE

∴∠APN＝45°