Question

【題目】如圖，在半徑為的扇形中，，點是弧上的一個動點（不與點、重合），，垂足分別為、．

當時，求線段的長；

在中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；

設，的面積為，求關于的函數關系式，并寫出的范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）圖（1）中，根據垂徑定理可得BD＝BC，然后只需運用勾股定理即可求出線段OD的長；

（2）連接AB，如圖（2），用勾股定理可求出AB的長，根據垂徑定理可得D和E分別是線段BC和AC的中點，根據三角形中位線定理就可得到DE=AB，DE保持不變；

（3）過D作DF⊥OE于F，連接OC，如圖（3），運用等腰三角形的性質可推出∠DOE=45°，在Rt△OFD中，運用三角函數可求出OF、DF，在Rt△DFE中，運用勾股定理可求出EF，從而求出OE，就可解決問題．

)如圖，

∵，

∴．

∵，，，

∴，

即線段的長為；

存在，保持不變．

理由：連接，如圖，

∵，，

∴，

∵，，

∴和分別是線段和的中點，

∴，

∴保持不變；

過作于，連接，如圖．

∵，，，

∴，

∵，，，

∴，，

∴，即，

在中，

∵，，

∴，

，

在中，

∵，，

∴，

∴，

∴．