Question

【題目】如圖所示，在□ABCD中，AE⊥BD ， CF⊥BD ， 垂足分別為點E ， F ， 點G、H分別為AD ， BC的中點，試證明EF和GH互相平分．

Answer 1

【答案】證明：設BD于GH交于O ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC ， AD//BC
∴∠GDO=∠BHO ， ∠GDO=∠HBO
∵G,H是AD ， BC的中點 ，
∴DG=BH
∴△DGO≌△BHO ，
∴GO=HO ， DO=BO ，
∵AE⊥BD ， CF⊥BD ，
∴∠AED=∠CFB=90 ，
又∵∠ADE=∠CBF ， AD=BC ，
∴△ADE≌△CBF ，
∴DE=BF ，
∴DE-DO=BF-BO ，
即EO=FO ，
∴EF和GH互相平分．
【解析】利用平行四邊形的性質與判定證明△DGO≌△BHO ， △ADE≌△CBF是本題的關鍵．
【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的判定，需要了解兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形才能得出正確答案．