Question

【題目】如圖在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝，點P是對角線AC上的一個動點，過點P作EF⊥AC交CD于點E，交AB于點F，將△AEF沿EF折疊點A落在G處，當△CGB為等腰三角形時，則AP的長為_________.

Answer 1

【答案】1或

【解析】分析：首先證明四邊形AEGF是菱形，分兩種情形：①CG=CB，②GC=GB分別計算即可．

詳解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=，∠DAC=∠BAC= =30°，AC=3，如圖，

∵EF⊥AG，

∴∠EPA=∠FPA=90°，

∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，

∴∠AEP=∠AFP，

∴AE=AF，

∵△A′EF是由△AEF翻折，

∴AE=EG，AF=FG，

∴AE=EG=GF=FA，

∴四邊形AEGF是菱形，

∴AP=PG

①當CB=CG時，∵AG=AC-CG=3-，

∴AP=AG=．

②當GC=GB時，∵∠GCB=∠GBC=∠BAC，

∴△GCB∽△BAC，

∴,

∴GC=1，

∴AG=3-1=2，

∴AP=AG=1．

故答案為1或．