Question

如圖，點A在拋物線y=x²上，過點A作與x軸平行的直線交拋物線于點B，延長AO，BO分別與拋物線y=-x²相交于點C，D，連接AD，BC，設點A的橫坐標為m，且m＞0．
（1）當m=1時，求點A，B，D的坐標；
（2）當m為何值時，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直；
（3）猜想線段AB與CD之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意得點A的坐標是將x=1代入即可，根據對稱性可得點B的坐標，即可得OB的解析式，與二次函數的解析式組成方程組即可求得點D的坐標；
（2）當四邊形ABCD的兩對角線互相垂直時，由對稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°所以點A的縱、橫坐標相等，根據點A在二次函數y=x²上，即可求得m的值；
（3）根據題意求得點A，B的坐標，求得AC的長與BD的解析式，即可求得點D與C的坐標，求得CD的長，可得CD=2AB．
解答：解：（1）∵點A在拋物線y=x²上，且x=m=1，
∴A（1，），（1分）
∵點B與點A關于y軸對稱，
∴B（-1，）．（2分）
設直線BD的解析式為y=kx，
∴k=-，
∴y=-x．（3分）
解方程組，
得D（2，-）．（4分）

（2）當四邊形ABCD的兩對角線互相垂直時，
由對稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°
所以點A的縱、橫坐標相等，（5分）
這時，
設A（a，a），代入y=x²，
得a=4，
∴A（4，4），
∴m=4．
即當m=4時，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直．（7分）

（3）線段CD=2AB．（8分）
證明：∵點A在拋物線y=x²，且x=m，
∴A（m，m²），
得直線AO的解析式為y=x，
解方程組，
得點C（-2m，-）（9分）
由對稱性得點B（-m，m²），D（2m，-m²），（10分）
∴AB=2m，CD=4m，
∴CD=2AB．（11分）
點評：此題考查了二次函數與一次函數的綜合知識，要注意對稱性質的應用，要注意數形結合思想的應用．