Question

【題目】如圖，已知拋物線＝與軸交于，兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上找到點，使得的周長最小，并求出點的坐標；

（3）在（2）的條件下，若點是線段上的一個動點（不與點、重合）．過點作交軸于點．設的長為，問當取何值時，．

Answer 1

【答案】（1），頂點為；（2）；（3）＝，＝

【解析】

（1）由點C的坐標，可求出c的值，再把、代入解析式，即可求出a、b的值，即可求出拋物線的解析式，將解析式化為頂點式，即可求出頂點的坐標；

（2）因為、關于拋物線的對稱軸對稱，連接與拋物線對稱軸交于一點，即為所求點，設對稱軸與軸交于點，證明，即可求出的長，從而求出點P的 坐標；

（3）根據點A、B、M、C的坐標，可求出，從而求出，根據＝，＝，推出＝，因為，推出 ＝，從而得到＝，，根據，列出關于m的方程，解方程即可.

（1）∵拋物線＝過、，三點，

∴＝，

∴，

解得．

故拋物線的解析式為，

故頂點為．

（2）如圖，

∵點、關于拋物線的對稱軸對稱，

∴連接與拋物線對稱軸交于一點，即為所求點．

設對稱軸與軸交于點，

∵軸，

∴．

∴．

由題意得＝，＝，＝，

∴，

∴＝．

∴．

（3）如圖，∵、，，，

∴＝．

∵＝，

∴．

∵＝，＝，

∴＝．

∵，

∴＝．

∴＝，．

∵＝，

∴＝

．

∴，

解得＝，＝．