Question

如圖所示，⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點，且直線O₁O₂交AB于C，說明AC=BC，AB⊥O₁O₂．

Answer 1

分析：顯然可以證明△AO₁O₂≌△BO₁O₂，進而可得AC=BC，再根據∠ACO₁=∠BCO₁，可得出AB⊥O₁O₂．

解答：證明：（方法一）
連接O₁A，O₁B，O₂A，O₂B．
∵在△AO₁O₂和△BO₁O₂中，
由

O1A=O1B O2A=O2B O1O2=O1O2

，
∴△AO₁O₂≌△BO₁O₂，
∴∠AO₁O₂=∠BO₁O₂；
又O₁A=O₁B，
∴△O₁AC≌△O₁BC．
∴AC=BC．
∴∠ACO₁=∠BCO₁．
∴AB⊥O₁O₂．

（方法二）
∵O₁A=O₁B，
∴O₁在線段AB的垂直平分線上，
∵O₂A=O₂B，
∴O₂在線段AB的垂直平分線上，
又經過兩點有且只有一條直線，
∴O₁O₂是線段AB的垂直平分線，
∴AC=BC，
∴AB⊥O₁O₂．

點評：本題考查圓與圓相交時兩圓的位置關系及圓心距、公共弦與兩圓半徑間的關系，解答此類題關鍵是通過圖形找到等量關系．