Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙O于點D，BD的延長線交AC于E，連接AD．
（1）求證：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2 ，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵AC為⊙O的切線，

∴BA⊥AC，

∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

而∠ODB=∠CDE，

∴∠B=∠CDE，

∴∠CAD=∠CDE，

而∠ECD=∠DCA，

∴△CDE∽△CAD

（2）解：∵AB=2，

∴OA=1，

在Rt△AOC中，AC=2 ，

∴OC= =3，

∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，

∵△CDE∽△CAD，

∴ = ，即 = ，

∴CE= ．

∴AE=AC﹣CE=2 ﹣ = ．

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠B+∠BAD=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)，由AC為⊙O的切線得∠BAD+∠CAD=90°，則∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，則∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根據(jù)三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2 ，根據(jù)勾股定理可計算出OC=3，則CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根據(jù)相似比可計算出CE，再由AE=AC﹣CE可得AE的值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．