Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°AB=8cm，cos∠ABC=，點D在邊AC上，且CD=cm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，當點P到達B點即停止運動.設運動時間為t（s）．解答下列問題：

（1）M、N分別是DP、BP的中點，連接MN.

①分別求BC、MN的值；

②求在點P從點A勻速運動到點B的過程中線段MN所掃過區域的面積；

（2）在點P運動過程中，是否存在某一時刻t，使BD平分∠CDP？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①BC=;MN=;②線段MN所掃過區域為平行四邊形，面積為6;(3)

【解析】試題分析：（1）①根據已知的AB=8和銳角三角形函數cos∠ABC=，可求出BC的長，根據勾股定理求出BD的長，然后根據三角形的中位線的性質可求解；

②由于D點不動，所以BD的長不變，因此MN的長不變，由此可知掃過的區域為平行四邊形，然后求解即可.

（2）如圖，過D作DH⊥AB于H，BE⊥PD于E，根據角平分線的性質和三角形的面積的不變性可求解.

試題解析：（1）①BC=, MN=；

②線段MN所掃過區域為平行四邊形，

面積為6；

（2）存在，

如圖，過D作DH⊥AB于H，BE⊥PD于E，

∵BD平分∠CDP,

∴∠PDB=∠CDB，

∴BE = BC =，

∴DC=DE=，

∵AD=AC-CD==5

∴DH=3，

∵BPDH=BEPD，

∴ PD=5﹣t，

∴PE=﹣t，

∵BP2=PE2+BE2，

∴（8﹣t）2=（﹣t）2+（）2，(解此方程需要注意運算技巧，否則特別繁瑣，影響運算結果與考試心情)解得：t=16（不合題意，舍去），t =，

∴當t=時，BD平分∠CDP．