Question

為鼓勵大學畢業生自主創業，某市政府出臺了相關政策：由政府協調，本市企業按成本價提供產品給大學畢業生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔．李明按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節能燈．已知這種節能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系近似滿足一次函數：．
（1）李明在開始創業的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？
（2）設李明獲得的利潤為（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
（3）物價部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

Answer 1

（1）政府這個月為他承擔的總差價為600元；（2）當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000；（3）銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元.

解析試題分析：（1）根據每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系可求得每月銷售量，又由單價和成本間關系得到每件節能燈的差價，則可得到總差價.（2）求每月可獲得最大利潤，即為求該二次函數的最大值，將二次函數配方法，可得該函數的最大值.（3）同時滿足，根據函數圖象的性質知道，隨的增大而減小，當時，該函數有最大值時，有最小值500.
試題解析：（1）當時，，，
∴政府這個月為他承擔的總差價為600元。
（2）依題意得，，
，
∴當時，有最大值4000.
∴當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000．
（3）由題意得：，
解得：，.
，拋物線開口向下，
∴結合圖象可知：當時，.
又，∴當時，w≥3000.
設政府每個月為他承擔的總差價為元，.
，隨的增大而減小.
∴當時，有最小值500.
∴銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元.

【考點】1.二次函數的性質；2.二次函數的圖象；3.二次函數的綜合應用.