Question

【題目】如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OA=5cm,E,F為直線BD上的兩個動點（點E，F始終在□ABCD的外面），且DE=OD，BF=OB，連接AE，CE，CF，AF.

(l）求證：四邊形AFCE為平行四邊形.

(2）若DE=OD,BF=OB,上述結論還成立嗎？由此你能得出什么結論？

(3）若CA平分∠BCD，∠AEC=60°，求四邊形AECF的周長.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由平行四邊形的性質可知OA=OC、OB=OD，結合BF=OD、BF=OB可得出OE=OF，根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形AFCE為平行四邊形；

（2）由DE=OD、BF=OB可以得出OE=OF，根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形AFCE為平行四邊形，由此可得出原結論成立。再找出結論“DE=OD，BF=OB，則四邊形AFCE為平行四邊形”即可；

（3）根據平行四邊形的性質結合CA平分∠BCD，即可得出AD=CD，進而可得出OE是AC的垂直平分線，再根據∠AEC=60°可得出△ACE是等邊三角形，根據OA的長度即可得出AE、CE的長度，套用平行四邊形周長公式即可求出四邊形AECF的周長.

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.

∵DE=OD，BF=OB，∴DE=BF.∴DE=OF，

∴四邊形AFCE為平行四邊形.

（2）成立.結論：若DE=OD，BF=OB,則四邊形AFCE為平行四邊形.

（3）在□ABCD中，AD//BC，∴∠DAC=∠ACB.

∵CA平分∠BCD,∠ACB=∠ACD.

∴∠ACD=∠DAC，

∴AD=CD，

∵OA=OC,∴OE⊥AC，

∴OE是AC的垂直平分線，

∴AE=CE，

∵∠AEC=60°，△ACE是等邊三角形，

∴AE=CE=AC=2OA=10cm，

在□AECF中，AF=CE,AE=CF,∴四邊形AECF的周長為2（10+10）=40（cm）.