Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．點D是直線BC上方拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，連接BD、CD，設點D的橫坐標為m，△BCD的面積為s．試求出s與m的函數關系式，并求出s的最大值；

（3）如圖2，設AB的中點為E，作DF⊥BC，垂足為F，連接CD、CE，是否存在點D，使得以C、D，F三點為頂點的三角形與△CEO相似？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）s與m的函數關系式為s＝﹣m2+m，s的最大值為；（3）點D的坐標為（ ，）或（，）．

【解析】

（1）由拋物線與x軸的交點可設交點式來求解析式；

（2）過點D作DM∥y軸，交BC于點M，因為點D的橫坐標為，所以，可得s與m的函數關系式為，即可利用配方求出最大值；

（3）根據題意可知以C、D，F三點為頂點的三角形與△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°可分為兩種情況：△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC，再利用相等角的三角函數值相等的關系式得到等量關系，解方程即可求得m的值

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3

（2）過點D作DM∥y軸，交BC于點M如圖1：

∵當x＝0時，y＝﹣x2+2x+3＝3

∴C（0，3）

∴直線BC解析式為

∵點D的橫坐標為

∴

∴

∴

∴s與m的函數關系式為，s的最大值為．

（3）存在點D，使得以C、D，F三點為頂點的三角形與△CEO相似

如圖2，連接BD

∵點E為AB中點，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）

∴E（1，0），OE＝1，OC＝3，

∴

∴，

∵ ，DF⊥BC

∴

∴

∵以C、D，F三點為頂點的三角形與△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°

∴△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC

① 若△CFD∽△COE，則∠FCD＝∠OCE

∴

∴

∴

解得：

∴

∴

② 若△CFD∽△EOC，則∠FDC＝∠OCE

∴

∴

∴

解得：

∴

∴

∴點D的坐標為或．