Question

請閱讀下面材料，并回答所提出的問題．
三角形內角平分線性質定理：三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．
已知：如圖，△ABC中，AD是角平分線．
求證：

BD

DC

=

AB

AC

分析：要證

BD

DC

=

AB

AC

，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似．現在B、D、C在一直線上，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比．在比例式

BD

DC

=

AB

AC

中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CE∥AD，交BA的延長線于E，從而得到BD、DC、AB的第四比例項AE，這樣，證明

BD

DC

=

AB

AC

就可以轉化成證AE=AC．
證明：過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．
CE∥DA?

∠1=∠E ∠2=∠3 ∠1=∠2

?∠E=∠3?AE=AC，
CE∥DA?

BD DC = BA AE AE=AC

?

BD

DC

=

AB

AC

（1）上述證明過程中，用到了哪些定理？（寫對兩個定理即可）
（2）在上述分析、證明過程中，主要用到了下列三種數學思想的哪一種？選出一個填在后面的括號內．[]
①數形結合思想；
②轉化思想；
③分類討論思想．
（3）用三角形內角平分線性質定理解答問題：
已知：如圖，△ABC中，AD是角平分線，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的長．

Answer 1

分析：（1）由比例式

BD

DC

=

AB

AC

，想到作平行線，用到了平行線的性質定理；只要證明AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE∥AD，寫出比例式

BD

DC

=

AB

AC

，用到了平行線分線段成比例定理（推論）；
（2）把AC轉化成AE，是用的轉化思想；
（3）利用三角形內角平分線性質定理，列出比例式，代入數據計算出結果．

解答：解：（1）證明過程中用到的定理有：
①平行線的性質定理；
②等腰三角形的判定定理；

（2）②轉化思想．（4分）

（3）∵AD是角平分線，
∴

BD

DC

=

AB

AC

（5分）
又∵AB=5，AC=4，BC=7，
∴

BD

7-BD

=

5

4

，
∴BD=

35

9

（cm）．

點評：此題是一道材料題，根據材料推得的結果進行解題，主要考查平行線分線段成比例定理的理解及運用．