Question

（2009•江津區）如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可知，將點A、B代入函數解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數解析式；
（2）根據題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關鍵是確定點Q的位置，找到點A的對稱點B，求得直線BC的解析式，求得與對稱軸的交點即是所求；
（3）存在，設得點P的坐標，將△BCP的面積表示成二次函數，根據二次函數最值的方法即可求得點P的坐標．
解答：解：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得
（2分）
∴（3分）
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；（4分）

（2）存在（5分）
理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=-1對稱
∴直線BC與x=-1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小
∵y=-x²-2x+3
∴C的坐標為：（0，3）
直線BC解析式為：y=x+3（6分）
Q點坐標即為
解得
∴Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）
理由如下：設P點（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四邊形BPCO}-S_△BOC=S_{四邊形BPCO}-
若S_{四邊形BPCO}有最大值，則S_△BPC就最大，
∴S_{四邊形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}（9分）
=BE•PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（-x²-2x+3）+（-x）（-x²-2x+3+3）
=
當x=-時，S_{四邊形BPCO}最大值=
∴S_△BPC最大=（10分）
當x=-時，-x²-2x+3=
∴點P坐標為（-，）．（11分）
點評：此題考查了二次函數的綜合應用，要注意距離最短問題的求解關鍵是點的確定，還要注意面積的求解可以借助于圖形的分割與拼湊，特別是要注意數形結合思想的應用．