Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為10cm，點D從點C出發沿CA向點A運動，點E從點B出發沿AB的延長線BF向右運動，已知點D，E都以1cm/s的速度同時開始運動，運動過程中DE與BC相交于點P，點D運動到點A后兩點同時停止運動．

（1）當△ADE是直角三角形時，求D，E兩點運動的時間；

（2）求證：在運動過程中，點P始終是線段DE的中點．

Answer 1

【答案】（1）s；（2）證明見解析

【解析】

（1）經過分析當△ADE是直角三角形時，只有∠ADE=90°的情況，此時∠AED=30°．用運動時間t表示出AD和AE，根據30度直角三角形的性質構造關于t的方程即可求解；

（2）過D點作DK∥AB交BC于點K，證明△DKP≌△EBP即可說明點P始終是線段DE的中點．

（1）當△ADE是直角三角形時，只有∠ADE＝90°的情況，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AE＝2AD，

設D點運動時間為t，則E點運動時間也為t，

∴AD＝10﹣t，AE＝10+t，

∴10+t＝2（10﹣t），解得t＝，

所以當△ADE是直角三角形時，D，E兩點運動的時間為秒；

（2）過點D作DK∥AB交BC于點K，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C＝∠CDK＝∠CKD＝60°，

∴CD＝DK＝CK，∠DKP＝∠EBP＝120°，

設D、E運動時間為t秒，則CD＝BE＝t，

在△DKP和△EBP中，

∴△DKP≌△EBP（AAS），

∴PD＝PE，

所以P始終為DE中點．