Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，其圖象過(guò)點(diǎn)與軸交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的解析式，寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，均以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿的邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)，將沿翻折，若點(diǎn)恰好落在拋物線(xiàn)弧上的處，試求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，Q為BN的中點(diǎn)，試探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）， ；（3）存在， ， ， .

【解析】（1）由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為-1，并過(guò)點(diǎn)A(3,0)可求出a、b,從而求出拋物線(xiàn)解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)由A,B,C坐標(biāo)可得出∠CBA=60°再由BM=BN推出△MBN是正三角形,翻折后△BMN≌ 推出M∥MB從而得到（1-3t, t）,把代入即可求解。

（3）分兩種情況討論點(diǎn)P的存在性，即點(diǎn)P在x軸上；和點(diǎn)P在y軸上.

解:(1)由題意得， ，解得：

二次函數(shù)的解析式為

,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

(2)由題意知， ,

又 ,△是正三角形. .

將沿翻折后， ,

.

若點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則有

化簡(jiǎn)得： ， .

此時(shí)， ， .

（3）由題意可得為直角三角形，

且又.

分二種情況討論：

1),當(dāng)在軸上時(shí)，過(guò)作軸于,則,此時(shí); 過(guò)作軸于,則,此時(shí); 在軸上其他位置時(shí)，三角形不為直角三角形，不可能與相似.

2),同理，當(dāng)點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)軸于，則，此時(shí);過(guò)作交y軸于,但則不相似， 在軸上其他位置時(shí)，三角形不為直角三角形，不可能與相似.