Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三個頂點E、G、H分別在矩形ABCD的邊ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2，連接CF．當△CGF是直角三角形時，線段AE的長為______．

Answer 1

【答案】2或6或或

【解析】

由題意得，分∠FGC和∠FCG和∠GFC為直角討論，①當∠GFC為90時，E、F、C三點在同一直線上，所以△AEH∽△BCE,根據相似三角形的對應線段成比例可求出解;

②當∠GCF=90,此時F點正好落在BC上, △AEH≌△CGF, △AEH∽△GDH,可求得AE的值；

③當∠CGF=90時，C,G,H共線，所以不可能.

解：①由題意得，∠FGC和∠FCG都不能為直角，當∠GFC為90時，E、F、C三點在同一直線上，所以△AEH∽△BCE， ,

設AE=x，有，可得x=2或者x=6，

②當∠GCF=90,此時F點正好落在BC上，則△AEH≌△CGF, △AEH∽△GDH,則

,解得x=4+2或x=4-2，

③當∠CGF=90時，C,G,H共線，所以不可能；

故答案：2或6或或.