Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，點B是⊙O上一點，連接BP并延長，交直線l于點C，使得AB=AC．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若PC=，OA=3，求⊙O的半徑和線段PB的長．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)．

【解析】

試題分析：（1）連結OB，如圖，由等腰三角形的性質得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根據切線的判定定理可得AB是⊙O的切線；

（2）作OH⊥PB于H，如圖，根據垂徑定理得到BH=PH，設⊙O的半徑為r，則PA=OA﹣OP=3﹣r，根據勾股定理得到，，所以，解得r=1，則PA=2，然后證明Rt△APC∽Rt△HPO，利用相似比可計算出PH=，于是得到PB=2PH=．

試題解析：（1）連結OB，如圖，

∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵OA⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

∵OB=OP，

∴∠4=∠5，

而∠3=∠4，

∴∠5+∠2=90°，

∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）作OH⊥PB于H，如圖，則BH=PH，

設⊙O的半徑為r，則PA=OA﹣OP=3﹣r，

在Rt△PAC中，，

在Rt△OAB中，，

而AB=AC，

∴，解得r=1，

即⊙O的半徑為1；

∴PA=2，

∵∠3=∠4，

∴Rt△APC∽Rt△HPO，

∴，即，

∴PH=，

∴PB=2PH=．