Question

【題目】如圖， 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB為⊙O的直徑．動點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3cm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t，求：

（1）t分別為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形？
（2）t分別為何值時，直線PQ與⊙O相切、相離、相交？

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為AD∥BC，

所以，只要QC=PD，則四邊形PQCD為平行四邊形，

此時有，3t=24﹣t，

解得t=6，

所以t=6秒時，四邊形PQCD為平行四邊形．

又由題意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四邊形PQCD為等腰梯形，

過P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點，

則由等腰梯形的性質可知，EF=PD，QE=FC=2，

所以3t﹣（24﹣t）=4，

解得t=7秒所以當t=7秒時，四邊形PQCD為等腰梯形

（2）

解：設運動t秒時，直線PQ與⊙O相切于點G，過P作PH⊥BC于點H，

則PH=AB=8，BH=AP，

可得HQ=26﹣3t﹣t=26﹣4t，

由切線長定理得，AP=PG，QG=BQ，

則PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26﹣3t=26﹣2t

由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即 （26﹣2t）2=82+（26﹣4t）2

化簡整理得 3t2﹣26t+16=0，

解得t1= 或 t2=8，

所以，當t1= 或 t2=8時直線PQ與⊙O相切．

因為t=0秒時，直線PQ與⊙O相交，

當t= 秒時，Q點運動到B點，P點尚未運動到D點，但也停止運動，直線PQ也與⊙O相交，

所以可得以下結論：

當t1= 或 t2=8秒時，直線PQ與⊙O相切；

當0≤t＜ 或8＜t≤ （單位秒）時，直線PQ與⊙O相交；

當 ＜t＜8時，直線PQ與⊙O相離．

【解析】（1）若PQCD為平行四邊形，則需QC=PD，即3t=24﹣t，得t=6秒；同理只要PQ=CD，PD≠QC，四邊形PQCD為等腰梯形，如圖，過P、D分別作BC的垂線，交BC于E、F點，則EF=PD，QE=FC=2，即3t﹣（24﹣t）=4，解得t=7秒，問題得解．（2）因為點P、Q分別在線段AD和BC上的運動，可以統一到直線PQ的運動中，要探求時間t對直線PQ與⊙O位置關系的影響，可先求出t為何值時，直線PQ與⊙O相切這一整個運動過程中的一瞬，再結合PQ的初始與終了位置一起加以考慮，設運動t秒時，直線PQ與⊙O相切于點G，如圖因為，AB=8，AP=t，BQ=26﹣3t，所以，PQ=26﹣2t，因而，過p做PH⊥BC，得HQ=26﹣4t，于是由勾股定理，可的關于t的一元二次方程，則t可求．問題得解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的判定的相關知識，掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，以及對直角梯形的理解，了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形．