Question

【題目】定義正整數m，n的運算，m△n＝

例2△3＝，3△4＝

（1）3△2的值為 運算符號“△”滿足交換律嗎？回答 （填“是”或者“否”）

（2）探究：計算2△10＝的值．

為解決上面的問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷的分割一個面積為1的正方形，把數量關系和幾何圖形結合起來，最終解決問題．

如圖所示，第1次分割把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為，第2次，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影分的面積之和為，第3次分割把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分……以此類推……第10次分割，把第9次分割后的圖中的空日部分的面積最后二等分，所有陰影部分面積之和為．

根據第10次分割圖可以得出計結果：＝1﹣，進一步分析可得出＝1﹣，

（3）已知n是正整數，計算3×（4△n）＝的結果．

按指定方法解決問題請仿照以上做法，只需畫出第n次分割圖并作標注，寫出最終結果的推理步驟，或借用以上結論進行推理，寫出必要的步驟．

Answer 1

【答案】（1），否（2）1- （3）見解析

【解析】

（1）根據新定義運算法則進行計算即可；重點是理解新定義是如何運算的
（2）根據計算2△10=…+ 的值的計算過程得到規律解題；
（3）根據探究的分割方法依次進行分割，然后表示出陰影部分的面積，再除以3即可．

（1）3△2＝，而2△3＝，則3△2≠2△3，

所以運算“△”不滿足交換規律

故答案是：；否；

（2）如圖所示，第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積這和為；

第3次分割，把上次圖中空白部分的面積繼續二等分，…依此類推，…

第10次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積為；

根據第10次分割圖可以得出計算結果為；

進一步分析可得出：果為；

故答案是：1﹣．

（3）第1次分割，把正方形的面積四等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，陰影部分的面積為；

第3次分害，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，陰影部分的面積……，

第n次分害，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，陰影部分的面積

，最后的空白部分的面積是；

根據第n次公害圖可得等式：.

兩邊同除以3，得：.