Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)和點B(3，0)．P為該拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式．

（2）將該拋物線沿y軸向下平移AB個單位長度，點P的對應點為P′，若OP=OP′，求△OP P′的面積．

（3）如圖2，連接AP，BP，設△APB的面積為S，當-2≤m≤2時，直接寫出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）S的最大值為5

【解析】

（1）利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先根據A,B的坐標求出AB的長度，進而可求出拋物線平移的距離，根據OP=OP′可得出x軸是PP′的垂直平分線，從而可知P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出相應的橫坐標，最后利用面積公式即可求解；

（3）設點P的縱坐標為y，根據題意得，然后分兩種情況，當點P在x軸上方時和點P在x軸下方時，分別求出y的最大值，進而分別求出S的最大值，最終即可確定答案．

解：（1）將代入中，得

解得

∴則該拋物線的解析式為；

(2)∵，

∴AB=4，

，

∴拋物線是向下平移了2個單位長度， PP′=2．

∵OP=OP′

∴x軸是PP′的垂直平分線，

∴點P的縱坐標為1．

當y=1時，，

解得 ，

∴ 或，

∴△O PP′的面積為或；

(3)S的最大值為5，理由如下：

將拋物線轉換成頂點式，得．

設點P的縱坐標為y，

由題意得，

當點P在x軸上方時，m=1時，取最大值，

∵當時，，

∴S的最大值為；

當點P在x軸下方時，時，取最大值，

∵當時， ，

∴S的最大值為；

∴當 時，S的最大值為5．