Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F分別是AB和BC邊上的點．
（1）如圖1，以EF為對稱軸翻折梯形ABCD，使點B與點D重合，且DF⊥BC．若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面積S_梯形ABCD的值；
（2）如圖2，連接EF并延長與DC的延長線交于點G，如果FG=k•EF（k為正數）．
①當K=1時，試猜想BE與CG有何數量關系？寫出你的結論并說明理由．
②當K=2時，試猜想BE與CG有何數量關系是______；（直接寫出你的結論）
③當K=n時，試猜想BE與CG有何數量關系是______．（直接寫出你的結論）．

Answer 1

解：（1）∵梯形ABCD為等腰梯形，且DF⊥BC，
∴CF==2，
由折疊的性質，得DF=BF=BC-CF=6，
∴S_梯形ABCD=×（AD+BC）×DF=×（4+8）×6=36；

（2）過E作EH∥CG交BC于H點，則△EFH∽△GFC，
∴∠EHB=∠DCB=∠B，
∴BE=EH，
由△EFH∽△GFC，得==，
∴CG=k•EH=k•BE，
故答案為：①當k=1時，CG=BE，②當k=2時，CG=2BE，③當k=n時，CG=nBE．
分析：（1）由于梯形ABCD為等腰梯形，且DF⊥BC，故CF=，由折疊的性質可知DF=BF=BC-CF，可求梯形的高，再計算梯形的面積；
（2）過E作EH∥CG交BC于G點，可證△EFH∽△GFC，利用相似三角形對應邊的比相等求解．
點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．