Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E．

（1）若∠A=40°，求∠DBC的度數；
（2）若AE=6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=∠C=70°，

∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=40°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=30°

（2）解：∵MN垂直平分AB，

∴DA=DB，

∵BC+BD+DC=20，

∴AD+DC+BC=20，

∴AC+BC=20，

∵AB=2AE=12，

∴△ABC的周長=AB+AC+BC=12+20=32．

【解析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，利用等腰三角形的性質，即可求得∠ABC的度數，然后由AB的垂直平分線MN交AC于點D，根據線段垂直平分線的性質，可求得AD=BD，繼而求得∠ABD的度數，則可求得∠DBC的度數．（2）由△CBD的周長為20，推出AC+BC=20，根據AB=2AE=12，由此即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質的相關知識點，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能正確解答此題．