Question

（本小題滿分7分）

已知：等邊三角形ABC

如圖1，P為等邊△ABC外一點，且∠BPC=120°．

試猜想線段BP、PC、AP之間的數量關系,并證明你的猜想；

（2）如圖2，P為等邊△ABC內一點，且∠APD=120°．求證：PA+PD+PC＞BD

 

 

Answer 1

猜想：AP=BP+PC                ------------------------------1分

（1）證明：延長BP至E，使PE=PC，聯結CE

          ∵∠BPC=120°

          ∴∠CPE=60°，又PE=PC

          ∴△CPE為等邊三角形

          ∴CP=PE=CE，∠PCE=60°

          ∵△ABC為等邊三角形

          ∴AC=BC，∠BCA=60°

          ∴∠ACB=∠PCE，

          ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP

          即：∠ACP=∠BCE

∴△ACP≌△BCE

          ∴AP=BE-------------------------2分

          ∵BE=BP+PE

∴AP=BP+PC--------------------------------------------- 3分

（2）方法一：

在AD外側作等邊△AB′D     ---------------------4分

則點P在三角形ADB′外

　　  ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD

      在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， 

∴PA+PD+PC＞CB′     ------------------------------------ 5分

     ∵△AB′D、△ABC是等邊三角形

     ∴AC=AB，AB′=AD，

∠BAC=∠DA B′=60°

     ∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD

     即：∠BAD=∠CAB′

     ∴△AB′C≌△ADB  

∴C B′=BD         -------------------------------------- 6分

     ∴PA+PD+PC＞BD    ----------------------------------- 7分

   方法二：延長DP到M使PM=PA，聯結AM、BM

     ∵∠APD=120°，

∴△APM是等邊三角形， -----------------------------4分

∴AM=AP，∠PAM=60°

  ∴DM=PD+PA         ------------------------------5分

  ∵△ABC是等邊三角形

∴AB=AC，∠BAC=60°

∴△AMB≌△APC

∴BM=PC          -------------------------------------------6分

在△BDM中，有DM + BM＞BD， 

∴PA+PD+PC＞BD     ----------------------------------------

解析:略