Question

如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：①分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC的兩邊作弧，交于點M、N；②連接MN，分別交AB、AC于點D、O；③過點C作CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD．

(1)求證：四邊形ADEC是菱形；
(2)當∠ACB＝90º，BC＝6，△ACD的周長為18時，求四邊形ADEC的面積．

Answer 1

（1）證明見解析(2)24

（1）證明：由作法可知：直線DE是線段AC的垂直平分線，
∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。
又∵CE∥AB，∴∠ADO =∠CEO。
∴△AOD≌△COE（AAS）。∴OD=OE。∴四邊形ADCE是菱形。
（2）解：當∠ACB=90°時， 由（1）知AC⊥DE，

∴OD∥BC。
∴△ADO∽△ABC。∴。
又∵BC=6，∴OD=3。
又∵△ADC的周長為18，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO。
∴，解得AO=4
∴。
（1）利用直線DE是線段AC的垂直平分線，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，從而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE是菱形。
（2）利用當∠ACB=90°時，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相似三角形的性質和勾股定理得出OD和AO的長，即根據菱形的性質得出四邊形ADCE的面積。