Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，cosB．動點D從點A出發沿著射線AC的方向以每秒1cm的速度移動，動點E從點B出發沿著射線BA的方向以每秒2cm的速度移動．已知點D和點E同時出發，設它們運動的時間為t秒．聯結BD．

（1）當AD=AB時，求tan∠ABD的值；

（2）以A為圓心，AD為半徑畫⊙A；以點B為圓心、BE為半徑畫⊙B．討論⊙A與⊙B的位置關系，并寫出相對應的t的值．

（3）當△BDE為直角三角形時，直接寫出tan∠CBD的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①當兩圓外離時，；②當兩圓外切時，；③當兩圓相交時，；④當兩圓內切時，t=5；⑤當兩圓內含時，t＞5；（3）tan∠CBD的值是或或或．

【解析】

（1）先根據三角函數定義可得BC＝4，由勾股定理計算AC＝3，最后證明∠ABD＝∠D，計算∠D的正切即可；

（2）分情況討論，根據兩圓外離，外切，相交，內切，內含的定義可得結論；

（3）當△BDE為直角三角形時，分D在線段AC上和射線AC上兩種情況，再分∠BDE＝90°和∠DBE＝90°分別畫圖，根據三角形相似和三角函數列比例式可解決問題．

（1）在△ABC中，

∵∠ACB=90°，AB=5，，

∴，

∴BC=ABcos∠ABC=54，

∴，

當AD=AB=5時，∠ABD=∠D，

∴CD=AD﹣AC=5﹣3=2，

在Rt△BCD中，，

∴tan∠ABD=tan∠D=2；

（2）如圖2，⊙A經過點E，兩圓外切，

由題意得：AD=t，BE=2t，

∴t+2t=5，

解得：t，

①當兩圓外離時，由題意得5＞3t，解得：；

②當兩圓外切時，如圖2，；

③當兩圓相交時，由題意得t＜5＜3t，解得：；

④當兩圓內切時，如圖3，由題意得2t﹣t=5，解得：t=5；

⑤當兩圓內含時，由題意得0≤5＜t，解得：t＞5；

（3）①當D在線段AC上，且∠BED=90°時，如圖4，

∵cosA，即，

解得：，

∴CD=3，

∴；

②當D在線段AC上，且∠BDE=90°，如圖5，過E作EF∥BC，交AC于F，

∴AE=5﹣2t．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，即，

∴AF=3t，EF=4t．

∵AD=t，

∴CD=3﹣t，DF=AD﹣AF=t﹣(3t)t﹣3．

∵∠BDE=∠EDF+∠CDB=∠CDB+∠CBD=90°，

∴∠EDF=∠CBD．

∵∠EFD=∠C=90°，

∴△EFD∽△DCB，

∴，即，

∴4(4t)=(3﹣t)(t﹣3)，

解得：t1=5(舍)，，

∴tan∠CBD；

③當D在線段AC的延長線上，且∠BDE=90°時，如圖6，過E作EF⊥AC，交CA的延長線于F，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，即，

∴AFt﹣3，EFt﹣4．

∵AD=t，

∴CD=t﹣3，DF=AD+AF=t+(t﹣3)t﹣3，

同理得△EFD∽△DCB，

∴，即，

∴4(t﹣4)=(t﹣3)(t﹣3)，

解得：t1=5，(舍)，

∴tan∠CBD；

④當D在線段AC的延長線上，且∠DBE=90°時，如圖7，

∵∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠CDB，

∴∠ABC=∠CDB，

∴tan∠ABC=tan∠CDB，即，

解得：，

∴tan∠CBD；

綜上，tan∠CBD的值是或或或．